Normal integral basis of an unramified quadratic extension over a cyclotomic Z2-extension

Let ℓ be an odd prime number. Let K/Q be a real cyclic extension of degree ℓ, AK the 2-part of the ideal class group of K, and H/K the class field corresponding to AK/A2K. Let Kn be the nth layer of the cyclotomic Z2-extension over K. We consider the questions (Q1) “does H/K has a normal integral basis?”, and (Q2) “if not, does the pushed-up extension HKn/Kn has a normal integral basis for some n≥1?” Under some assumptions on ℓ and K, we answer these questions in terms of the 2-adic L-function associated to the base field K. We also give some numerical examples.

Soit ℓ un nombre premier impair. Soient K/Q une extension cyclique réelle de degré ℓ, AK la 2-partie du groupe des classes d’idéaux de K, et H/K le corps des classes correspondant à AK/A2K. Soit Kn la n-ème couche de la Z2-extension cyclotomique sur K. Nous considérons les questions (Q1) “existe-il une base intégrale normale pour H/K ?” et (Q2) “sinon, l’extension induite HKn/Kn a-t-elle une base intégrale normale pour un certain n≥1 ?” Sous quelques hypothèses sur ℓ et K, nous répondrons à ces questions en termes de la fonction L 2-adique associée au corps K de base. De plus, nous donnons quelques exemples numériques.